מדרשה מתמטית 2019
קומבינטוריקה אינסופית
הניתוח הקומבינטורי של עצמים אינסופיים אינו יכול להיסמך על אותן משענות אריתמטיות שמצויות בעולם הסופי. רוב הפונקציות האריתמטיות השימושיות בקומבינטוריקה סופית - הלוגריתם, הבינום, פולינומים, שורש ריבועי - חסרות מובן בעולם המונים האינסופיים ואילו פונקציית החזקה לא כריעה (אי אפשר להכריע מהו הערך של 2 בחזקת אלף אפס, למשל).
בהרצאות נציג שיטות מרכזיות המשמשות בחקר הקומבינטוריה של עצמים סופיים, שהחשובה בהן היא השימוש במסנן הקבוצות הסגורות ולא- חסומות. מטרתנו להראות שהמונה האינסופי השני, אלף אחת, הוא בעל תכונות שונות לחלוטין מהמונה האינסופי הראשון, אלף אפס.
לכל צביעה של זוגות לא סדורים מתוך אלף-אפס במספר סופי של צבעים יש תת קבוצה אינסופית של אלף-אפס שכל הזוגות מתוכה צבועים בצבע אחד בלבד (זהו משפט רמזי לזוגות). לעומת זאת יש צביעה של זוגות לא סדורים מתוך המונה אלף-אחת באלף-אחת צבעים כך שבכל תת-קבוצה של אלף-אחת שגודלה הוא אלף-אחת יש זוגות מכל הצבעים (משפט טודורצ׳ביץ).
על המרצה
אני עוסק בשימושי חשבון מונים אינסופי בקומבינטוריקה ובטופולוגיה כללית. אני מתעניין בעיקר בתופעות אסימפטוטיות, וזאת משום שעל מונים אינסופיים מספיק גדולים ידועים יותר יחסים אריתמטיים מאשר על המונים האינסופיים הקטנים.
פרקולציה
פרקולציה, או בעברית חלחול, זהו שם למודל מתחום המכניקה הסטטיסטית. בשנים האחרונות, בעיקר החל משנות ה-80 התחום התפתח והתאוריה המתמטית שלו נהייתה אלגנטית ויפה.
התאוריה קושרת יחד תכונות גיאומטריות וסימטריות של המרחב. מאידך, שאלות בסיסיות מאוד נשארו עדיין פתוחות.
אנחנו נלמד את הבסיס של התאוריה, ונראה חלק מהתופעות היפות של המודל.
על המרצה
אני מתעניין בתהליכים הסתברותיים שונים (כגון הילוכים מקריים, ומודלים פיסיקליים כמו
Ising, random cluster, percolation), במרחבים שונים.
המחקר שלי מתאפיין בחקירת הקשרים שיש בין התהליך הנידון, לבין הגיאומטריה של המרחב, וכן לקשר שיש לשני אלו אל הסימטריות (האלגברה) של המרחב.
בהרבה מהדוגמאות אנחנו מצליחים ללמוד מתהליך הסתברותי על הגיאומטריה, או מהסימטריות על התהליך ההסתברותי, ויש יחסי גומלין פוריים בין שלושת התחומים של אנליזה, גיאומטריה ואלגברה.
לאן הולכים הילוכים מקריים על חבורות?
הילוכים מקריים על חבורות מהווים אובייקט מעניין ועשיר בתורת ההסתברות. לאן ההילוכים הולכים? זו תהיה השאלה המרכזית שנדון בה. כיצד ניתן לתאר את הכיוונים השונים של החבורה, מנקודת המבט של ההילוך המקרי?
נלמד על "שפת פורסטנברג-פואסון" שהיא כלי לתיאור כזה ונספר על הרלוונטיות שלה לשאלות בתורת החבורות, והתורה הארגודית.
לא נדרשת היכרות מוקדמת עם הילוכים מקריים.
על המרצה
אני חוקר חבורות אין-סופיות ופעולותיהן, כאשר אחד הכלים שאני אוהב להשתמש בו הוא הילוכים מקריים על חבורות. אני במיוחד מתעניין במקרים שבהם ניתוח ההילוכים המקריים חושף תכונות גיאומטריות או אלגבריות (דטרמיניסטיות לחלוטין!) של החבורה.
קוואזי-מורפיזמים ויישומיהם
קווזי-מורפיזמים של חבורה G הינם פנוקציות ממשיות, המוגדרות על G, אשר מקיימות את השיוויון שמקיים הומומורפיזם מ G לממשיים, עד כדי טעות (חיבורית) חסומה.
חקר חבורות דרך הקווזי-מורפיזמים שלהם התברר ככלי יעיל מאוד, למשל להבנת המבנה האלגברי של חבורות לא אבליות.
המיני-קורס יכלול את הנקודות הבאות:
-
דוגמאות ובניות של קווזי-מורפיזמים על חבורות דיסקרטיות שונות.
-
דיון בחבורות נוספות: חבורות הצמות (Braid groups), חבורות הומאומורפיזמים (כגון ה- Mapping class group), וחבורות מתורת הקשרים (concordance group of knots).
-
מטריקות וקווזי-מורפיזמים על חבורות דיפאומורפיזמים.
-
שימושים בתורת החבורות הגיאומטרית ובדינמיקה.
על המרצה
אני חוקר חבורות טרנפורמציות של גופים אשר משמרות תכונות מסויימת של הגוף, כגון דיפאומורפיזמים של יריעות אשר משמרים נפח או תבנית סימפלקטית.
על חבורות אלו בדרך כלל ניתן להגדיר מטריקות מעיניינות, שמתנהגות יפה ביחס לפעולה בחבורה. שאלה מעניינת (וקשה!) היא כיצד ממיינים מטריקות כאלה.
אשלה נוספת שאני חוקר: אילו חבורות נוצרות סופית אפשר לשכן בחבורות הטרנספורמציה הגדולות תוך שימור מטריקה.
במחקר שלי אני משתמש בכלים מתורת הקשרים, גיאומטריה סימפלקטית, תורת החבורות הגיאומטרית ודינמיקה.