מדרשה מתמטית 2020
פתירות של משוואות דיפרנציאליות
רוב הסטודנטים נתקלים, כבר בסמסטר הראשון, בטענה שלפונקציה
e^{-x^2}
אין פונקציה קדומה שאפשר לרשום במפורש. לא תמיד מדגישים שהטענה
הזו היא למעשה משפט, מתמטי שניתן להוכיח. לתחום שעוסק בשאלות הללו קוראים תורת גלואה דיפרנציאלית, וההוכחה שמשוואה מסוימת אינה ניתנת לפתרון מפורש מקבילה לטענת על אי פתירות של משוואות פולינומיות. אנחנו נדבר קצת על התורה האלגברית של משוואות דיפרנציאליות לינאריות, על חבורות אלגבריות שמופיעות שם כחבורות גלואה, ועל ההוכחה של הטענה הנ"ל ודומות לה. אם יישאר זמן, ננסה לומר משהו יותר כללי על תורות גלואה ומה שמאחד אותן.
על המרצה
אני עוסק בתורת המודלים (model theory), תחום בלוגיקה מתמטית בעל שימושים לשאלות בתחומים מגוונים במתמטיקה. עיקר העניין שלי הוא בשימושים לתורות אלגבריות וגאומטריות שונות.
מספרים p-אדיים ומשפט מונסקי
המספריים הפי-אדיים הם שדה מספרים שהתגלה בסוף מאה 19 בעקבות הבנה טובה יותר של מספרים ממשיים.
בהדרגה פותחו עבור מספרים אלו
כל המונחים המוכרים: אריתמטיקה ואלגברה, תורת הפונקציות, נגזרות, איטנגרלים וגאומטריה.
למספרים פי-אדיים ישנם שימושים
רבים ברוב תחומי המתמטיקה, וגם במדעי המחשב ולאחרונה גם בפיסיקה.
בסדרת ההרצאות אני אתן סקירה
על מספרים אלו ובעזרתם נוכיח
משפט מרשים, שלכאורה אינו קשור לתורת המספרים כלל.
זהו משפט מונסקי (1970), אשר אומר כי אם נחלק ריבוע למשולשים בעלי אותו שטח, אז מספר המשולשים האלו תמיד זוגי.
על המרצה
תחום המחקר שלי הוא תורת ההצגות
ותבניות אוטומורפיות.
תורת ההצגות היא תורה המתארת פעולות של חבורות ואלגבראות על קבוצות מסוגים שונים, ובעיקר פעולות של חבורות על מרחבים ווקטוריים עי ידי העתקות לינאריות.
בפרט, אני חוקרת הצגות של חבורות
מטריצות עם רכיבים פי-אדיים.
מחזוריות וכריעות של ריצופים
נאמר שללתת-קבוצה סופית A של Z^d יש ריצוף אם קיימת קבוצה B כך שZ^d ניתן להצגה כאיחוד זר של הזזות A על ידי איברי B.נאמר של- A יש ריצוף מחזורי אם קיימת B כנ"ל שהיא יתר על כן מחזורית ביחסל- d הזזות בלתי תלויות לינארית.האם לכל קבוצה סופית בעלת ריצוף יש ריצוף מחזורי?השאלה הזו עדיין פתוחה במקרה הכללי, אבל תשובה חיובית ידועה במקרים פרטייים למשל כאשר גודל הקבוצה A הוא מספר ראשוני או כאשר המימד d הוא 2 לכל היותר.בהרצאות נציג מושגים ותיאוריה, משפטים והוכחות לגבי ריצופים והקשר שלהם לדינמיקה.
על המרצה
תחום המחקר שלי הוא דינמיקה, או ליתר דיוק דינמיקה טופולוגית והתורההארגודית. התחום עוסק בחקר של "מערכות דינמיות מופשטות": העתקות השומרותעל המבנה הטופולוגי או המידתי של מרחב המצבים. אני מתעניין במושגים כגוןמחזוריות, אנטרופיה, אי-סדר ותכונות סימטריה של מערכות. באופן ממוקד קצתיותר, אני עוסק בדינמיקה סימבולית, תחום הקשור לייצוג של מערכות ותהליכיםעל ידי קידוד בדיד של מצב המערכת בנקודות זמן שונות.בין היתר עסקתי לאחרונה (ביחד עם שותפים למחקר) בשאלות הנוגועותלמחזוריות של ריצופים, ב"פירוק" של מערכת למספר מערכות בלתי תלויות,בקשרים של דינמיקה לתורת החבורות ובשימושים של דינמיקה לקידוד ופענוח אותדיגיטלי תחת אילוצים סטטיסטיים.
פעולות של חבורות על עצים
ההגדרה המודרנית של חבורה היא אלגברית ומופשטת. עם זאת, כאשר אנחנו באים לחקור חבורה ספיציפית כדאי לתת לחבורה לפעול על אוביקט מתמטי מתאים. כלומר לממש את החבורה כחבורת סימטריה של אוביקט יותר מוחשי. בקורס של שלוש פגישות אני אציג תורה אחת כזו שמתגלה כעשירה ומרכזית הרבה יותר ממה שניתן היה לצפות ממבט ראשון. התורה של של פעולות של חבורות על עצים.
פגישה ראשונה: גרפי קיילי. חבורות חופשיות והקשר שלהן לטופולוגיה. משפט נילסן שרייר Nielsen-Schreier. מכפלות ממוזגות והרחבות HNN. הצצה לתורה של בס-סר Bass-Serre.
פגישה שניה: חבורת האוטומורפיזמים של עץ רגולרי. מיון האוטומורפיזמים להיפרבוליים, אליפטיים ואינוורסיות. חבורות אליפטיות לחלוטין והיפרבוליות לחלוטין. משפט הפשטות של טיטס Tits.
פגישה שלישית: מספרים p-אדים, עצי ברואה-טיטס Bruhat-Tits ומשפט איהרה Ihara.
על המרצה
אני עוסק בחקר של חבורות אינסופיות. בשיטות שמערבות בדרך כלל חקר של פעולות של חבורות על אוביקטים מתמטיים מגוונים: מרחבים טופולוגיים, מרחבי הסתברות, עצים, ואפילו סתם פעולות על קבוצות ללא כל מבנה נוסף.