top of page

נושאי ההרצאות

branching_process.png

תהליכי סיעוף וקירובם על ידי משוואות דיפרנציאליות סטוכסטיות

חן דובי

בקורס נעסוק בקשר בין שתי תורות הסתברותיות מרתקות: תהליכי סיעוף ומשוואות דיפרניציאליות סטוכסטיות.
תהליכי סיעוף הינם משפחה של תהליכים אקראיים בהם כמות הדגימות בשלב ה-n+1 נקבע על ידי מצב המערכת בשלב ה-n. יסודות התורה הונחו בעבודה הסמינאלית של גאלטון ו-ווטסון (1874), שדנה בהעלמות של שמות בתי אצולה באנגליה הוויקטוריאנית. מאז, התורה הפכה להיות ענף משמעותי בתורת ההסתברות, עם שימושים רבים בכלכלה, ביולוגיה וכפי שהוכיח משבר הקורונה- גם באפידמיולוגיה.
הרגל השנייה של המיני-קורס, משוואות דיפרנציאליות סטוכסטיות, עוסקות בהרחבה של מושג הדיפרנציאל למערכת בה הקירוב הלינארי מופרע על ידי משתנה מקרי נורמלי עם שונות אינפיטיסימאלית. הרעיון להרחבה סטוכסטית של התורה הדפרנציאלית החל עם משוואת לז'נווין (1908), אך רק בשנות ה-50 של המאה ה-20 פותח הבסיס המתמטי לתורה. 
במהלך הקורס נציג כל אחת מהתורות (וכמובן נדבר על הקשר למשבר הקורונה), נדבר על כיצד ניתן להשתמש במשוואת דיפרנציאליות סטוכסטיות בכדי לקרב תהליכי סיעוף, ונציג מגוון של תוצאות מעשיות הקשורות בעיקר (אך לא רק) להנדסה גרעינית.

SW_duality.png

התאמה (דואליות) של שור-וייל Schur-Weyl

תורת ההצגות היא תורה המתארת פעולות של חבורות ואלגבראות על קבוצות מסוגים שונים, ובעיקר פעולות של חבורות על מרחבים ווקטוריים על ידי העתקות לינאריות.

פעולה של חבורה על מרחב ווקטורי על ידי אופרטורים לינארים נקראת הצגה של החבורה, מכיוון שהיא מגדירה "ייצוג" של איברי החבורה על ידי אוסף מטריצות.

אחת השאלות הנפוצות היא למצוא התאמה בין הצגות של חבורות שונות G ו-H. לצורך זה בד"כ יש למצוא מרחב V שעליו החבורה  GxH פועלת באופן טבעי.התאמת Schur-Weyl היא אחת הדוגמאות הבולטות, המתאימההצגות של חבורה סימטרית S_r והצגות של חבורה GL_n.

בהרצאה הראשונה נדבר על ההצגות של חבורה סימטרית S_r.

 

בהרצאה שניה נדבר על ההצגות האי-פריקות של אלגברת לי

sl_n, שהיא "קירוב לינארי" לחבורה האינסופית SL_n (חבורת כל המטריצות בעלות דטרמיננטה 1). נוכיח את התוצאות עבור sl_2.

 

בהרצאה שלישית נוכיח את ההתאמה בין שני העולמות, אשר נקראת דואליות שור-וייל.

 

אם יישאר זמן, נדבר על דפורמציה של חוג החבורה C[S_r] ואת האלגברה העוטפת U(sl_n) ועל גירסה קוואנטית של דואליות שור-וייל.

random_walk_binyamini.png

בהרצאות נגדיר מהם הילוכים מקריים על חבורות ואיך ניתן "לתאר" את כל הכיוונים השונים שהם הולכים אליו. המרחב הזה, משמש תפקיד משמעותי להבנת אספקטים שונים של החבורה (אלגברים, גיאומטרים ואפילו תורת-אופרטוריים). ככזה, ניתן להסתכל עליו מכל מיני הקשרים מתמטיים שונים. מעבר להיותו מרחב שכיף לעבוד איתו, יש בבניה שלו ערך חינוכי-מתמטי: נראה איך פורסטנברג לקח רעיונות מתחום אחד במתמטיקה והשתמש בהן בכדי לפתור בעיה בתחום אחר לגמרי.     

E8Petrie.png

טופולוגיה לא קומוטטיבית – מבוא לאלגבראות *C

עבור מרחב האוסדורף קומפקטי X, נסמן ב-C(X) את חוג הפונקציות הרציפות מ-X למרוכבים. זוהי אלגברת בנך – מרחב נורמי שלם, יחד עם פעולת מכפלה. ניתן להראות שכל האינפורמציה לגבי הטופולוגיה של X מקודדת באלגברה הזו. לא כל אלגברת בנך היא מהצורה הזו. בשנות ה-40', גלפנד ונאימרק מצאו מערכת אקסיומות שמאפיינת אלגבראות בנך מהצורה C(X), כלומר, למעשה נתנו איפיון אלגברי-אנליטי ל(פונקציות מעל) מרחבים טופולוגיים האוסדורף קומפקטיים. אחת האקסיומות היא כמובן חוק החילוף: fg=gf, אלא שמשפט יסודי אחר של גלפנד ונאימרק מראה שללא הנחת חוק החילוף, האקסיומות הללו מאפיינות בדיוק תת אלגבראות סגורות של אופרטורים על מרחבי הילברט (אשר נחקרו בהרחבה כחלק מהביסוס האקסיומטי של תורת הקוונטים). אלגבראות שמקיימות את מערכת האקסיומות הזו נקראות אלגבראות *C, וניתן לכן לראות בהן הכללה טבעית של מושג המרחב הטופולוגי (כזה שה"פונקציות" עליו אינן מקיימות את חוק החילוף, ואין שום מושג סביר של מה זו נקודה).

בסדרת ההרצאות אציג את ההגדרה ואדבר על המשפטים הנ"ל, ולאחר מכן ננסה לבנות מספר דוגמאות לאלגבראות *C לא קומוטטיביות ונראה כיצד ניתן להכליל מושגים מסוימים מטופולגיה אלגברית (בייחוד תורת K) על מנת לחקור אובייקטים כאלה ולהבחין ביניהם.

 

הקורס מיועד לתלמידי שנה ג' במתמטיקה, ולכן אין לחשוש מהמונחים הנ"ל. אני אניח רק ידע מוקדם בטופולוגיה קבוצתית (למשל, מה זה מרחב האוסדורף קומפקטי), כמו גם היכרות עם מבנים אלגבריים (למשל ,מה זה חוג ואידאל), אם כי חשיפה מסוימת לתורת המידה ו/או לאנליזה פונקציונלית תהיה מועילה. מאחר שמדובר בחומר מתקדם ובזמן קצר, הכוונה לא תהיה לתת הוכחות מלאות למשפטים, אלא לסקור כמה רעיונות ובניות על מנת לתת איזושהי טעימה קצרה מתחום המחקר, שאמנם נחשב לרוב כתת-תחום באנליזה פונקציונלית, אולם נושק לתחומים רבים אחרים ומשלב כלים מטופולוגיה אלגברית, תורת החבורות ועוד.

לאן הולכים הילוכים מקריים?

נדיה גורביץ

יאיר הרטמן

אילן הירשברג

bottom of page