נושאי ההרצאות
לוגיקה ובעיות אריתמטיות
משה קמנסקי
משוואות דיופנטיות הן משוואות פולינומיות שמחפשים להן פתרונות מתוך קבוצה מצומצמת, כמו השלמים או הרציונליים. טבעי לחלק את המחקר של משוואות כאלה לשני חלקים: החלק ה״גאומטרי״ של הבנת המשוואות עצמן, והחלק ה״אריתמטי״, בו מוסיפים את הדרישה שהפתרונות מגיעים מהקבוצה הרצויה. החלק הגאומטרי נחקר היטב והוא יחסית קל להבנה, אבל החלק האריתמטי לרוב הרבה יותר קשה. דרך אחת לנסות להבין את החלק האריתמטי הוא לנסות לייצר ״גאומטריה״ שמורכבת ממשוואות יותר כלליות, ובעזרתה לתפוס את החלק האריתמטי. במקרים מסוימים, ההבנה של הגאומטריות הללו מגיעה מכלים של לוגיקה מתמטית. אנחנו נציג בעיה מהסוג הזה, ושתי שיטות שונות שמגיעות מלוגיקה שמאפשרות להתמודד איתה.
חשיבה מתמטית על תרמודינמיקה
אריאל ידין
תרמודינמיקה היא חקר מעבר חום, במקור המטרה היתה להבין מנועי קיטור בזמן המהפכה התעשייתית. שיטה גאונית למדל מערכות מסובכות כאלה הומצאה על ידי Boltzmann, ומשתמשת בהסתברות כדי לקחת את המספר האסטרונומי של המשתנים החופשיים במערכת, ולאפשר ערכים מדידים מאקרוסקופיים.
במיני-קורס הזה נכיר כמה מודלים בסיסיים מהתחום, ונכיר את התכונות המעניינות שלהם. נתמקד בעיקר במודל Ising וכן בפרקולציה. למרות שהמשוואות מגיעות מחשיבה על התפשטות גזים, מודל Ising הוא בעצם מודל למגנטיות. בעצם, משוואות התרמודינמיקה חוזרות ועולות בהרבה מאוד הקשרים שונים, ממתמטיקה תאורטית, דרך פיזיקה, ומדעים נסיוניים אחרים, ואותן משוואות משמשות למודלים שונים, למשל מעברי חום, מכניקה קוואנטית, ואפילו גיאומטריה של חבורות! בתקווה נספיק לטעום מספיק דוגמאות כדי לחוות מעט מהעושר והעומק שיש בתחום.
נדרש רק ידע בסיסי בהסתברות (בדידה) והגדרות בסיסיות של תורת הגרפים.
אלי שמוביץ'
אי-שוויון Bell המפורסם מראה, שמכניקה קוואנטית לא מסתדרת עם עקרון המקומיות (locality), כלומר שחלקיקים יכולים להיות מושפעים מגורמים אך ורק בסביבתם. בהרצאה זו נדבר על משחקים לא-מקומיים (non-local games), שמציגים בצורה מתמטית את התופעת השזירה הקוואניטית (quantum entanglement). נראה איך אליס ובוב יכולים לרמות את השופט במשחק בעזרת חלקיקים שזורים במשחקים כמו CHSH, ריבוע הקסם, וצביעת גרפים. נדבר גם איך אפשר לדעת בעזרת משחקים, האם מחשב הקוואנטים, שהביאו לכם עובד טוב. לבסוף ננסה לענות על השאלה, איך כל זה קשור למחקר באלגבראות אופרטורים?
הידע הדרוש הוא הכרות עם אלגברה לינארית.
מתמטיקה במדע בדיוני:
אוטומטים סלולרים ומצבי גן-עדן ב-Permutation City של Greg Egan
יאיר גלזנר
הספר Permutation City של Greg Egan מתרחש בעולם שמבוסס על אוטומט סלולרי. המצב הרגעי בעולם כזה נתון על ידי קונפיגורציה סופית על לוח משבצות, וההתפתחות בזמן מתוארת על ידי מערכת מקומית של כללי התפתחות בזמן. דוגמה מפורסמת לאוטומט כזה הוא משחק החיים (Game of life) של Conway. הספר עוסק באימפליקציות פילוסופיות לגבי אנשים שחיים בעולם כזה, של משפטים שמגיעים מן התורה המתמטית של אוטומטים סלולריים? שלוש ההרצאות יתמקדו ב:
- אוטומטים סלולריים.
- קצת על הספר של Egan.
- משפט גן העדן של Moore and Myhill.
הספר זמין להורדה מן האתר של אמזון תמורת $4. מומלץ לקרוא אותו מראש גם בכדי להבין את ההקשר יותר טוב וגם בכדי להימנע מספוילרים.