מדרשה מתמטית 2025
המרצים
משה קמנסקי
אני עוסק בתורת המודלים (model theory), תחום בלוגיקה מתמטית בעל שימושים לשאלות בתחומים מגוונים במתמטיקה. עיקר העניין שלי הוא בשימושים לתורות אלגבריות וגאומטריות שונות.
אריאל ידין
אני מתעניין בתהליכים הסתברותיים שונים (כגון הילוכים מקריים, ומודלים פיסיקליים כמו
Ising, random cluster, percolation), במרחבים שונים.
המחקר שלי מתאפיין בחקירת הקשרים שיש בין התהליך הנידון, לבין הגיאומטריה של המרחב, וכן לקשר שיש לשני אלו אל הסימטריות (האלגברה) של המרחב.
בהרבה מהדוגמאות אנחנו מצליחים ללמוד מתהליך הסתברותי על הגיאומטריה, או מהסימטריות על התהליך ההסתברותי, ויש יחסי גומלין פוריים בין שלושת התחומים של אנליזה, גיאומטריה ואלגברה.
אלי שמוביץ'
אני עוסק בחקר של אלגבראות ומערכות אופרטורים. בפרט, אני מתעניין בקשר בין אלגבראות אופרטורים לאובייקטים מתמטיים אחרים, כמו קמירות, תורת הפונקציות, וגאומטריה אנליטית. אלגבראות אופרטורים יכולים להופיע בכל מיני תחומים: ישנן אלגבראות של פונקציות אנליטיות או רציפות, ישנן אלגבראות שבאות מחבורות ודינמיקה, ישנן אלגבראות שבאות מפיזיקה, ומתחומים אחרים. אפשר גם ללכת בכיוון השני, איך אפשר לראות אלגבראות כפונקציות, גם אם האלגברה לא קומוטטיבית? אז מה זה אומר פונקציה של משתנים לא מתחלפים? על אילו קבוצות פונקציה כזו חיה? פתרונות לשאלות מסוג זה מערבים שיטות מאלגברה לא קומוטטיבית, אנליזה פונקציונאלית, אנליזה מרוכבת, קמירות, ועוד הרבה.
יאיר גלזנר
אני עוסק בחקר של חבורות אינסופיות. בשיטות שמערבות בדרך כלל חקר של פעולות של חבורות על אוביקטים מתמטיים מגוונים: מרחבים טופולוגיים, מרחבי הסתברות, עצים, ואפילו סתם פעולות על קבוצות ללא כל מבנה נוסף.
נושאי ההרצאות
לוגיקה ובעיות אריתמטיות
משה קמנסקי
משוואות דיופנטיות הן משוואות פולינומיות שמחפשים להן פתרונות מתוך קבוצה מצומצמת, כמו השלמים או הרציונליים. טבעי לחלק את המחקר של משוואות כאלה לשני חלקים: החלק ה״גאומטרי״ של הבנת המשוואות עצמן, והחלק ה״אריתמטי״, בו מוסיפים את הדרישה שהפתרונות מגיעים מהקבוצה הרצויה. החלק הגאומטרי נחקר היטב והוא יחסית קל להבנה, אבל החלק האריתמטי לרוב הרבה יותר קשה. דרך אחת לנסות להבין את החלק האריתמטי הוא לנסות לייצר ״גאומטריה״ שמורכבת ממשוואות יותר כלליות, ובעזרתה לתפוס את החלק האריתמטי. במקרים מסוימים, ההבנה של הגאומטריות הללו מגיעה מכלים של לוגיקה מתמטית. אנחנו נציג בעיה מהסוג הזה, ושתי שיטות שונות שמגיעות מלוגיקה שמאפשרות להתמודד איתה.
חשיבה מתמטית על תרמודינמיקה
אריאל ידין
תרמודינמיקה היא חקר מעבר חום, במקור המטרה היתה להבין מנועי קיטור בזמן המהפכה התעשייתית. שיטה גאונית למדל מערכות מסובכות כאלה הומצאה על ידי Boltzmann, ומשתמשת בהסתברות כדי לקחת את המספר האסטרונומי של המשתנים החופשיים במערכת, ולאפשר ערכים מדידים מאקרוסקופיים.
במיני-קורס הזה נכיר כמה מודלים בסיסיים מהתחום, ונכיר את התכונות המעניינות שלהם. נתמקד בעיקר במודל Ising וכן בפרקולציה. למרות שהמשוואות מגיעות מחשיבה על התפשטות גזים, מודל Ising הוא בעצם מודל למגנטיות. בעצם, משוואות התרמודינמיקה חוזרות ועולות בהרבה מאוד הקשרים שונים, ממתמטיקה תאורטית, דרך פיזיקה, ומדעים נסיוניים אחרים, ואותן משוואות משמשות למודלים שונים, למשל מעברי חום, מכניקה קוואנטית, ואפילו גיאומטריה של חבורות! בתקווה נספיק לטעום מספיק דוגמאות כדי לחוות מעט מהעושר והעומק שיש בתחום.
נדרש רק ידע בסיסי בהסתברות (בדידה) והגדרות בסיסיות של תורת הגרפים.
איך לשחק במשחקים לא מקומיים
אלי שמוביץ'
אי-שוויון Bell המפורסם מראה, שמכניקה קוואנטית לא מסתדרת עם עקרון המקומיות (locality), כלומר שחלקיקים יכולים להיות מושפעים מגורמים אך ורק בסביבתם. בהרצאה זו נדבר על משחקים לא-מקומיים (non-local games), שמציגים בצורה מתמטית את התופעת השזירה הקוואניטית (quantum entanglement). נראה איך אליס ובוב יכולים לרמות את השופט במשחק בעזרת חלקיקים שזורים במשחקים כמו CHSH, ריבוע הקסם, וצביעת גרפים. נדבר גם איך אפשר לדעת בעזרת משחקים, האם מחשב הקוואנטים, שהביאו לכם עובד טוב. לבסוף ננסה לענות על השאלה, איך כל זה קשור למחקר באלגבראות אופרטורים?
הידע הדרוש הוא הכרות עם אלגברה לינארית.
מתמטיקה במדע בדיוני:
אוטומטים סלולרים ומצבי גן-עדן ב-Permutation City של Greg Egan
יאיר גלזנר
הספר Permutation City של Greg Egan מתרחש בעולם שמבוסס על אוטומט סלולרי. המצב הרגעי בעולם כזה נתון על ידי קונפיגורציה סופית על לוח משבצות, וההתפתחות בזמן מתוארת על ידי מערכת מקומית של כללי התפתחות בזמן. דוגמה מפורסמת לאוטומט כזה הוא משחק החיים (Game of life) של Conway. הספר עוסק באימפליקציות פילוסופיות לגבי אנשים שחיים בעולם כזה, של משפטים שמגיעים מן התורה המתמטית של אוטומטים סלולריים? שלוש ההרצאות יתמקדו ב:
- אוטומטים סלולריים.
- קצת על הספר של Egan.
- משפט גן העדן של Moore and Myhill.
הספר זמין להורדה מן האתר של אמזון תמורת $4. מומלץ לקרוא אותו מראש גם בכדי להבין את ההקשר יותר טוב וגם בכדי להימנע מספוילרים.